数制基础

数制基础

本文的核心内容是向同学们介绍计算机的数制基础。学习本文将有助于你：

• 理解数制的基本概念，掌握进制之间的转换方法和技巧

• 理解计算机二进制编码的三种解释方式：原码、反码、补码

阅读完本文后，你应该至少掌握下面两张图的内容。（如果你自认为已经掌握了，可以直接跳到本文末尾的拓展阅读）

数制基础准备

本节的概念同学们只需要有一个感性的认识就可以，没有完全理解也不必纠结

数制也称为“计数制”，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。任何一个数制都包含两个基本要素：基数和位权。这句话听起来可能比较抽象，请看下述示例：

这个例子使用了我们非常熟悉的十进制（810975右下角的角标10表明这个字符串使用的是十进制），我们借助这个例子来讲解上面的抽象概念

• 基数：数制所使用数码的个数

  例如，十进制的基数是10，它的数码集合为{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• 位权：数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值/权重）

  例如，810975中的8所在位置的位权就是10⁵，1所在位置的位权就是10⁴，0所在位置的位权就是10³，9所在位置的位权就是10²，7所在位置的位权就是10¹，5所在位置的位权就是10⁰

• 固定的符号：数制所使用的数码

  例如，十进制数的数码集合为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，这意味着十进制数字的字符串只能由这些符号构成【实际上这里可以使用离散数学集合论中字母表和语言来形式化定义，感兴趣的同学可以在学习完离散数学Ⅱ--集合论后再回过头来看这里的例子】

• 统一的规则：对数制的解释，对于一个数制来说，一旦基数和位权被定义好，就意味着由“数码“构成的符号串会被唯一地解释成一个数值

从十进制数示例出发，我们推广到 n 位的 b 进制数 ，它的值可以定义为：

对于这样的b进制的数字（右下角的b代表这个字符串使用了b进制），我们不难看出：

• b进制数的基数为 b

• b进制数第 i 位的位权为 bⁱ

计算机常用的进制转换

现代计算机是基于二进制的数制进行工作的，信息在计算机中以二进制字符串的形式进行存储。

然而使用二进制的表示法比较冗长，这种对机器友好的表示方法人是很难看明白的。而人们熟悉的十进制与二进制之间的转换又比较麻烦，因此我们引入了十六进制数。我们熟悉的十进制数是由数字0~9组成，而十六进制数字则是由数字0~9和字母A~F来表示十六个可能的数值。

十六进制数是以0x开头，这个x可以是小写也可以是大写。十六进制数字中的字母部分可以全部是大写，也可以全部是小写，甚至大小写混合也是正确的。下面这个例子很好的展示了十六进制数字的多种写法。